통계학 & R 프로그램 스터디 14일차
- 0.000012%의 꿈, 로또, <이토록 쉬운 통계 & R>
- 로또 당첨 확률 구하기
로또 당첨 확률
로또 당첨 확률을 구하려면 먼저 45개의 숫자 중 6개를 뽑는 방법의 가짓수를 구해야 한다. 고등학교 통계 시간에 배운 조합 Combination을 써보면 다음과 같이 구할 수 있다.
$${}_{45}{\rm C}_{6} = \frac{45 \times 44 \times 43 \times 42 \times 41 \times 40}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 8,145,060$$
8,145,060개의 번호 중에서 곡 하나는 당첨 번호가 나오므로 내가 산 복권이 당첨될 가능성은
$$\frac{1}{8,145,060} \sim 0.000012\%$$
가 된다. 당첨 번호 5개와 보너스 번호를 맞혀여 하는 2등은 6가지, 당첨 번호 5개를 맞혀야 하는 3등은 228가지, 4개를 맞혀야 하는 4등은 11,115가지, 3개를 맞혀야 하는 5등은 182,780가지 숫자 조합이 가능하다.
화귤을 계산해보면 5등이 당첨될 확률이 2.2%이고 등수에 상관없이 당첨될 확률은 2.4%가 채 되지 않는다.
조금더 자세히 로또 당첨 확률 계산해보기
여기부터는 <이토록 쉬운 통계 & R>에는 나오지 않는 내용이다. 책에서 언급된 당첨 확률들은 어떻게 계산이 되어지는 걸까? 수업 자료로 사용할 만한 내용이라 스터디한 내용을 정리해본다.
로또에 당첨될 확률을 수학적으로 조금 더 자세하게 알아보자.
1등에 당첨될 확률
1등에 당첨될 확률은 앞에서 구한 것 처럼 6개의 번호 중에 6개의 번호를 모두 맞추는 경우(${}_{6}{\rm C}_{6} = 1$)를 전체의 경우의 수로 나눠주면 간단하게 구할 수 있다.
$$\frac{{}_{6}{\rm C}_{6}}{{}_{45}{\rm C}_{6}}=\frac{1}{8,145,060}=0.00000012$$
1등 당첨자가 나오는 게 신기할 따름!!
2등에 당첨될 확률
2등에 당첨되는 경우는 6개의 당첨 번호 중에 5개가 맞고(${}_{6}{\rm C}_{5}$), 1개의 보너스 번호가 일치(${}_{1}{\rm C}_{1}$)하면 된다.
$$\frac{{}_{6}{\rm C}_{5} \times {}_{1}{\rm C}_{1}}{{}_{45}{\rm C}_{6}} = \frac{6}{8,145,060} = 0.00000074$$
3등에 당첨될 확률
3등에 당첨되는 경우는 6개의 당첨 번호 중에 5개의 번호가 일치(${}_{6}{\rm C}_{5}$)하고, 당첨 번호와 보너스 번호가 아닌 38개($45-6-1 = 38$)의 번호 중에 1개의 번호가 일치(${}_{38}{\rm C}_{1}$)하면 된다.
$$\frac{{}_{6}{\rm C}_{5} \times {}_{38}{\rm C}_{1}}{{}_{45}{\rm C}_{6}}=\frac{228}{8,145,060}=0.00002799$$
4등에 당첨될 확률
4등에 당첨되는 경우는 6개의 당첨 번호 중에 4개의 번호가 일치(${}_{6}{\rm C}_{4}$)하고, 당첨 번호가 아닌 39개($45-6 = 39$)의 번호 중에 2개의 번호가 일치(${}_{39}{\rm C}_{2}$)하면 된다.
$$\frac{{}_{6}{\rm C}_{4} \times {}_{39}{\rm C}_{2}}{{}_{45}{\rm C}_{6}}=\frac{11,115}{8,145,060}=0.00136463$$
5등에 당첨될 확률
5등에 당첨되는 경우는 6개의 당첨 번호 중에 3개의 번호가 일치(${}_{6}{\rm C}_{3}$)하고, 당첨 번호가 아닌 39개($45-6 = 39$)의 번호 중에 3개의 번호가 일치(${}_{39}{\rm C}_{2}$)하면 된다.
$$\frac{{}_{6}{\rm C}_{3} \times {}_{39}{\rm C}_{3}}{{}_{45}{\rm C}_{6}}=\frac{182,780}{8,145,060}=0.02244060$$
당첨금이 없을 확률
당첨금이 없을 경우는 6개의 당첨 번호 중에 2개의 번호가 일치하거나 1개의 번호가 일치하거나 아무것도 일치하지 않는 경우들을 합하면 된다.
$$\frac{{}_{6}{\rm C}_{2}\times{}_{39}{\rm C}_{4} + {}_{6}{\rm C}_{1}\times{}_{39}{\rm C}_{5} + {}_{6}{\rm C}_{0}\times{}_{39}{\rm C}_{6}}{{}_{45}{\rm C}_{6}}=7,950,9308,145,060=0.97616590$$
아무것도 당첨이 되지 않을 확률이 97%가 넘는다는 사실!! 5등 당첨도 쉽지 않구나...
이게 현실이다....
다음 스터디에서 보다 현실적인(?) 로또 확률에 대해서 스터디를 해보자.
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